2. nodaļa. Mehāniskās svārstības un viļņi

Mehāniskās svārstības

AtpakaļUz priekšu
2.2. Brīvās svārstības. Atsperes svārsts

Brīvās svārstības notiek iekšējo spēku iedarbībā pēc tam, kad sistēma ir ierosināta no līdzsvara stāvokļa.

Lai notiktu harmoniskās svārstības, nepieciešams, lai spēks, kas cenšas atgriezt sistēmu līdzsvara stāvoklī, būtu proporcionāls novirzei no līdzsvara stāvokļa un vērsts pretējā virzienā (sk. 2.1.§):
F(t) = ma(t) = –mω2x(t).

Šeit ω ir harmonisko svārstību leņķiskā frekvence. Šādas īpašības piemīt elastības spēkam Huka likuma izpildes robežās(sk. 1.12.§):
Fel = –kx.

Visus pārējos spēkus, kas atbilst šim nosacījumam, sauc par kvazielastīgiem spēkiem.

Tādā veidā, atsvars, kura masa m un kurš iekārts atsperē ar stingruma koeficentu k (atsperes otrs gals nostiprināts nekustīgi; zīm. 2.2.1.), veido sistēmu, kas var svārstīties harmoniski bez berzes. Atsvaru, kas iekārts atsperē, sauc par lineāro harmonisko oscilatoru.

Zīmējums 2.2.1.
Atsperes svārsta svārstības. Berzes nav.

Atsperē iekārtā atsvara brīvo svārstību leņķiskā frekvence ω0 tiek aprēķināta pēc 2. Ņūtona likuma:
no kurienes iegūstam

Frekvence ω0 tiek saukta par svārstību sistēmas pašsvārstību frekvenci.

Atsperē iekārtā atsvara brīvo svārstību periods T tiek aprēķināts:

Ja sistēma atsvars – atspere novietota horizontāli, tad smaguma spēku, kas darbojas uz atsvaru, kompensē atbalsta reakcijas spēks. Ja atsvars iekārts atsperē, tad smaguma spēks vērsts atsvara kustības virzienā. Līdzsvara stāvoklī atspere izstiepjas par lielumu x0, kas vienāds ar
un svārstības notiek ap šo jauno līdzsvara stāvokli. Iepriekš uzrakstītās pašsvārstības ω0 izteiksme un svārstību perioda T izteiksme paliek spēkā.

Svārstību sistēmas vienādojumu var uzrakstīt, ja ņem vērā matemātisko saistību starp paātrinājumu a un tā koordinātu x: par paātrinājumu sauc otro koordinātas atvasinājumu x pēc laika t:

Tāpēc otro Ņūtona likumu atsperē iekārtam atsvaram varam uzrakstīt formā:
jeb
(*)
kur

Visas fiziskās sistēmas (ne tikai mehāniskās), kuras raksturo vienādojums (*), spēj veikt brīvas harmoniskas svārstības, tāpēc ka šī vienādojuma atrisinājums ir harmoniskā funkcija:
x = xm cos (ωt + φ0).

Vienādojumu (*) sauc par brīvo svārstību vienādojumu. Jāpievērš uzmanība, ka sistēmas fiziskas īpašības nosaka tikai pašsvārstību frekvenci ω0 vai periodu T. Tādus svārstību parametrus, kā sistēmas svārstību amplitūda xm un sākumfāze φ0, nosaka sākotnējā laika momentā, balstoties uz to, kā tiek izjaukts sistēmas līdzsvara stāvoklis.

Ja, piemēram, atsvars tiek novirzīts no līdzsvara stāvokļa attālumā Δl un pēc tam laika momentā t = 0 tas sāk brīvi svārstīties bez sākuma ātruma, tad xm = Δl, φ0 = 0.

Ja atsvaram, kas atrodas līdzsvara stāvoklī, ar pēkšņu grūdienu tiek piešķirts sākotnējais ātrums ± υ0, tad ,

Tādā veidā, brīvo svārstību amplitūdu xm un sākotnējo fāzi φ0aprēķina, balstoties uz sākuma nosacījumiem.

Modelis. Rotējošais svārsts.

Eksistē daudz dažādu svārstību sistēmu, kurās tiek izmantoti elastīgās deformācijas spēki. 2.2.2. zīmējumā  attēlots lineārā harmoniskā oscilatora leņķiskais analogs. Elastīgā diegā iekārts horizontālais disks. Pagriežot disku leņķī θ rodas elastīgās griezes deformācijas spēka moments Mel:
Mel = –χθ.

Šī izteiksme izsaka Huka likumu griezes deformācijai. Lielums χ ir analoģisks atsperes stingumam k. Otrais Ņūtona likums diska rotācijas kustībai tiek uzrakstīts (sk. 1.23.§)
Šeit I = IC ir diska inerces moments attiecībā pret asi, kas iet caur masas centru, ε ir leņķiskais paātrinājums.

Pēc analoģijas ar atsvaru uz atsperes, iespējams iegūt:

Griezes svārsts bieži tiek izmantots mehāniskajos pulksteņos. To sauc par atsvaru. Atsvara elastīgā spēka moments tiek veidots ar spirālveida atsperes palīdzību.

Zīmējums 2.2.2.
Atsperes svārsta svārstības.

AtpakaļUz priekšu
Uz augšu